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泡沫的微觀結(jié)構(gòu)及演變動(dòng)力學(xué)
來源:知乎阿黃sweetgirl 瀏覽 1456 次 發(fā)布時(shí)間:2022-06-17
前面有一篇短文中介紹了水中的自由氣泡的演變過程。然而,在實(shí)際生活中,我們見到和經(jīng)常使用的卻是大量氣泡組成的泡沫。本文介紹一下泡沫的微觀結(jié)構(gòu)靜力學(xué)及其演變過程分析。
泡沫一般結(jié)構(gòu)如圖1所示,由于浮力作用,大量的氣泡漂浮在液體的表層,從上往下含有的氣泡的體積分?jǐn)?shù)依次減小。在泡沫的研究中,把液體體積含量極少(通常少于1%)的泡沫成為干泡沫,把含量介于1%到約30%左右的泡沫成為濕泡沫。對于氣泡液體,幾乎所有的氣泡可以保持為球形,不用考慮氣泡之間直接接觸的氣泡膜問題,這不屬于泡沫物理學(xué)研究的范疇。如圖1所示,泡沫的結(jié)構(gòu)尺度跨越10個(gè)數(shù)量級(jí),從宏觀泡沫的演變規(guī)律,到微觀泡沫界面的穩(wěn)定機(jī)制,對于泡沫的研究橫跨了物理,材料,界面化學(xué)等多個(gè)學(xué)科。
圖1.不同尺度下的泡沫結(jié)構(gòu)及穩(wěn)定機(jī)制(Ref 1)(a)整個(gè)泡沫結(jié)構(gòu),尺度為0.01 m至1 m。(b)干泡沫的放大部分,尺度為0.1 mm至1 cm。(c)液體通道,也叫Plateau邊界,尺度為1 um至0.1 mm以及肥皂泡膜,尺度為10 nm到1 um。(d)氣液界面的分子層結(jié)構(gòu),尺度為0.1 nm到10 nm。e-f)氣泡膜在界面靜電力排斥作用即楔裂壓(disjoining pressure)的作用下而穩(wěn)定存在。
(1)泡沫的結(jié)構(gòu)規(guī)律
圖2 Plateau及其干泡沫靜態(tài)結(jié)構(gòu)力學(xué)三定律(Ref 1)
泡沫物理學(xué)集中于研究泡沫的結(jié)構(gòu)、靜力學(xué)、動(dòng)態(tài)演變及排液等內(nèi)容。它是一個(gè)十分古老的學(xué)科,由比利時(shí)物理學(xué)家Plateau在19世紀(jì)中葉開創(chuàng)(圖2a)。Plateau在數(shù)十年的失明的時(shí)光里,依舊通過指導(dǎo)他侄子做試驗(yàn),堅(jiān)持研究肥皂泡薄膜的幾何形態(tài)及其背后隱藏的力學(xué)規(guī)律。1873年,他和侄子把自己的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和分析結(jié)果做了系統(tǒng)整理,以法文發(fā)表,從此把對泡沫結(jié)構(gòu)的研究由定性印象推到了量化階段,開創(chuàng)了泡沫物理學(xué)(Ref 2)。在泡沫靜力學(xué)方面,Plateau的主要貢獻(xiàn)在于其提出了干泡沫的靜態(tài)結(jié)構(gòu)力學(xué)的三定律,它是后續(xù)泡沫研究的基石:
1)膜力學(xué)平衡:肥皂膜是光滑的,它的曲率半徑是處處相等的,其大小可以用Laplace方程去計(jì)算。對于2維泡沫,每條氣泡邊界都是圓弧的一部分(圖2b);
2)邊力學(xué)平衡:三個(gè)肥皂膜相互接觸總是形成三條邊,且任意三條邊的夾角必須為120°(圖2b),此時(shí)力平衡并且體系能量最低。
3)頂點(diǎn)力學(xué)平衡:當(dāng)四條邊在空間形成一個(gè)頂點(diǎn)時(shí),此頂點(diǎn)處的四條邊任意兩條的夾角都為109.5°,只有這個(gè)角度才能使膜以120°角互相連接達(dá)到力平衡(圖2c)。
(2)泡沫的演變
Plateau的泡沫結(jié)構(gòu)力學(xué)三定律對于后續(xù)泡沫的研究具有重要的意義。它直接引出了一系列有關(guān)氣泡的推論。
比如,依據(jù)Plateau第一定律,可以推出,相鄰三個(gè)相互接觸的氣泡的三條邊界上的曲率之和為零(Curvature sum rule)。其中最重要地是1952年von Neumann利用它推導(dǎo)出了二維泡沫的演變方程(Ref 3)。
推導(dǎo)二維泡沫的演變方程需要用到幾何荷數(shù)(Geometry charge)的概念。下面我們首先介紹一下幾何荷數(shù)的定義。
假設(shè)二維干泡沫中的任一氣泡如圖3b所示,氣泡的邊數(shù)為n,從a點(diǎn)開始,再回到a的邊長分別標(biāo)記為l1到ln,每邊所對應(yīng)的曲率為k1到kn(Plateau第一定律)。現(xiàn)在假設(shè)有一點(diǎn)從a點(diǎn)沿著邊向b運(yùn)動(dòng),到b點(diǎn)時(shí),所走的路徑為l1,轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為這條邊所對應(yīng)的圓心角(向外為正,向內(nèi)為負(fù)值),為k1*l1。此時(shí)要想繼續(xù)沿著邊運(yùn)動(dòng),需要向內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)π/3角度(根據(jù)Plateau第二定律),如圖3b所示。轉(zhuǎn)動(dòng)后繼續(xù)運(yùn)動(dòng),直到到達(dá)原來的點(diǎn)a。此過程,n條邊總共在頂點(diǎn)處轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為nπ/3,在邊上轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為
此點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向變化總共為2π,可建立關(guān)系:
則幾何荷數(shù)q的定義為:
圖3 Von Neumann及二維干泡沫演化規(guī)律(Ref 1)
幾何荷數(shù)的含義即是每邊所對應(yīng)的圓心角之和,其中對于氣泡而言往外凸起的邊為正值,往里凹下的邊其圓心角為負(fù)值。幾何荷數(shù)能夠反應(yīng)出氣泡的平均凹凸程度,是對氣泡平均形貌的一個(gè)表征。通過公式可以看出,邊長大于6的氣泡平均是凹下的,邊長等于6的氣泡平均是平的,而變長小于6的氣泡,平均起來是凸起的,如圖3c所示。
下面我們推導(dǎo)二維泡沫的演變方程,由于任一氣泡跟周圍氣泡的氣體交換都是通過氣泡邊界進(jìn)行的,則氣泡體積(二維氣泡用面積表示)隨時(shí)間的變化率跟邊界長度和邊界上的壓強(qiáng)差都有關(guān)系,可以表示為
式中λ為氣體傳輸系數(shù),根據(jù)Laplace方程可得
結(jié)合上式及上面q的推導(dǎo)過程公式,可得
二維泡沫的演變方程表明,氣泡的變化只和其邊的個(gè)數(shù)有關(guān),對于邊長大于6的氣泡,隨著演化體積會(huì)增大,邊長等于6的氣泡,其體積保持不變。而對于邊長小于6的氣泡,其體積會(huì)逐漸變小。注意,這兒體積保持不變,不代表氣泡不與外界發(fā)生氣體傳輸,只是表示進(jìn)入氣泡和出去氣泡的體積是相等的,總體顯示體積顯示不變,也不代表氣泡的邊界不發(fā)生移動(dòng)。
Von Neumann的二維演變方程的著名及其重要性是它不單單適用于二維泡沫,凡是具有網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的二維體系,界面移動(dòng)受界面張力調(diào)控,其速率受界面曲率調(diào)控的情形都可以用這個(gè)方程去表達(dá)。這種情形在自然界中是十分普遍的,比如如水上面油脂分子層的演化、熔化時(shí)晶界的變化、冰晶的生長等(Ref 5,Ref 6)。
自從Von Neumann推出了二維泡沫的演變方程以來,人們一直希望能推導(dǎo)出三維泡沫的演變方程,直到50多年后的2007年,美國葉史瓦大學(xué)MacPherson等在Nature上發(fā)表了一篇題為“把von Neumann方程拓展到三維微結(jié)構(gòu)粗化的研究”(The von Neumann relation generalized to coarsening of three-dimensional microstructures)的論文,完成了對三維泡沫體系演變方程的推導(dǎo)(Ref 7)。之后,加利福尼亞大學(xué)的Saye等于2013年在Science上發(fā)表論文,從模擬上實(shí)現(xiàn)了三維泡沫的結(jié)構(gòu)重排、排液、破裂等一系列過程(圖4),在泡沫演變歷史上具有劃時(shí)代的意義(Ref 4)。至此,人們對泡沫演變的規(guī)律得到了充分的認(rèn)識(shí)。
圖4目前對三維干泡沫演變的模擬研究65
Ref 1:I.Cantat,S.et al.Foams:Structure and Dynamics.Oxford University Press,Oxford,(20
Ref 1:I.Cantat,S.et al.Foams:Structure and Dynamics.Oxford University Press,Oxford,(2013).
Ref2:孫其誠&譚靚慧.泡沫物理學(xué)史拾萃.物理37,473-481(2008).
Ref3:Neumann,J.v.in Metal Interfaces(ed.Herring,C.),108-110(Americal Society for Metals,Cleveland,1952).
Ref 4:Saye,R.I.&Sethian,a.J.A.Multiscale Modeling of Membrane Rearrangement,Drainage,and Rupture in Evolving Foams.Science 340,720(2013).
Ref 5:Stavans,J.The evolution of cellular structures.Rep.Prog.Phys.56,733-789(1993).
Ref 6 Glazier,J.A.&Weaire,D.the kinetics of cellular patterns.J.Phys.:Condens.Matter 4,1867-1894(1992).
Ref 7:MacPherson,R.D.&Srolovitz,D.J.The von Neumann relation generalized to coarsening of three-dimensional microstructures.Nature 446,1053-1055(2007).
注:本文節(jié)選自本人博士畢業(yè)論文前言部分。