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水滴的表面張力使它盡量收縮從而形成球形

來源:知乎 賈明子 瀏覽 2219 次 發(fā)布時(shí)間:2021-06-21

從高處往下倒水,為什么剛開始水是連成一條線的,往下就成了散開的水珠?有什么方法能讓水一直保持一條線?


先說結(jié)論,這是因?yàn)樗^的“Plateau–Rayleigh”不穩(wěn)定性。


然后,我再試圖用大家都能聽懂的白話解釋一下。這個(gè)過程中有一個(gè)關(guān)鍵的物理現(xiàn)象,叫做表面張力。


表面張力,我們簡(jiǎn)單形象地理解,可以認(rèn)為流體的兩相(如氣液)界面就像是一張緊繃的皮膜,這張膜在外力的約束下,總是希望盡可能地收縮。沿著它的表面就有一種張力,就是表面張力。


如果你想用最形象的方式理解表面張力,你可以想象一個(gè)吹起來的氣球的表面:氣球的彈力使它盡量收縮從而整體形成球形。相對(duì)應(yīng)地,水滴的表面張力使它盡量收縮從而形成球形。

而這里有一件非常關(guān)鍵的事請(qǐng),就是由于表面張力的存在,彎曲的表面就會(huì)在兩側(cè)形成壓力差。就好像緊繃的氣球,其內(nèi)部壓力要高于外部的壓力。這種壓力差來自哪里?當(dāng)然就是氣球皮膜緊繃的張力。由于氣球的彎曲表面,使得其張力最終表現(xiàn)為內(nèi)部壓力的升高。


具體講,我們對(duì)一個(gè)這樣無重力液滴做出分析,它的上半球受力受到三個(gè)力的作用:


1、內(nèi)部液體在截面上對(duì)它的凈壓力;


2、外部在上半球面上對(duì)它的凈壓力


3、液滴表面受到的沿表面垂直于“斷面”的表面張力。

我們很容易就會(huì)看到,由于表面張力的存在,此時(shí)內(nèi)部的壓力肯定要大于外部壓力。那么,這種壓力差的大小是由什么決定的呢?


很顯然,一個(gè)決定因素就是張力的大?。浩つた嚨脑骄o,所能產(chǎn)生的壓力差就越大。但是還有另一個(gè)很重要的因素,就是表面彎曲的程度,也就是它的曲率。我們還是用氣球做一個(gè)說明,例如下面這個(gè)氣球:

氣球內(nèi)部的氣體壓力處處相等,但是,接觸過這種氣球的人都有一個(gè)經(jīng)驗(yàn),就是粗的地方繃得緊,而細(xì)的地方繃得就不那么緊。如上圖所示,繃得緊的地方和繃得松的地方,產(chǎn)生的壓力差是相等的,但是他們的曲率是不相等的:曲率越大,同樣的張力所能產(chǎn)生的壓力差就更大。


我們有一個(gè)公式可以表示這個(gè)關(guān)系,叫做楊-拉普拉斯方程(Young-Laplace equation):

其中,γ是表面張力,R1和R2分別是兩個(gè)方向上的曲率半徑。


那么,我們來看看細(xì)流的水柱為何會(huì)分散成水滴:這是因?yàn)檫B續(xù)的水柱狀態(tài)是不穩(wěn)定的,而水滴的狀態(tài)才是穩(wěn)定的。比如說,下圖是一個(gè)細(xì)流柱:

我們知道,我們的環(huán)境中總是存在著各種干擾,不論我們?nèi)绾胃綦x,都不可能消除它:因?yàn)樗陨砭痛嬖诟鞣N漲落。因此,這個(gè)水柱不可能是嚴(yán)格的圓柱形,它上面總是有各種“皺紋”的。事實(shí)上,現(xiàn)實(shí)中的擾動(dòng)非常之復(fù)雜,我們不可能做出具體的分析,但是,我們總是可以把這些擾動(dòng)看做是一系列正弦波的疊加(傅里葉分解),那么,我們通過對(duì)這些正弦波的分析,可以分析出這些干擾的基本特征。如下圖,一個(gè)被正弦波干擾的水柱呈這個(gè)形狀:

我們可以看到,在不同的地方,柱面的曲率都發(fā)生了變化,這種變化和表面張力一起,就導(dǎo)致了水柱當(dāng)中不同地方內(nèi)部壓力的變化。那么,我們?nèi)绾闻袛噙@種影響呢?我們說,如果A點(diǎn)(柱半徑縮小的地方)的壓力上升,B點(diǎn)壓力下降,那么:


在壓力差下,流體從A點(diǎn)流向B點(diǎn),


流動(dòng)導(dǎo)致A點(diǎn)進(jìn)一步縮小,B點(diǎn)進(jìn)一步增大


進(jìn)而,A點(diǎn)壓力更加增加,B點(diǎn)的壓力更加減小


流動(dòng)更加快速


……


如此循環(huán),A點(diǎn)處迅速縮成0,從而崩解,也就是說,這是一種正反饋,表面張力的作用會(huì)擴(kuò)大擾動(dòng),水柱不復(fù)存在。


但是,如果發(fā)生的情況相反,也就是說,擾動(dòng)導(dǎo)致B點(diǎn)壓力上升,A點(diǎn)壓力下降,那么,水就會(huì)從B點(diǎn)流向A點(diǎn),這是一種負(fù)反饋,表面張力的作用會(huì)抑制擾動(dòng),水柱就能維持穩(wěn)定。


那么,這種擾動(dòng)到底會(huì)是一種正反饋,還是負(fù)反饋呢?我們來具體分析兩點(diǎn)的壓力變化:


在A點(diǎn),z方向上產(chǎn)生了負(fù)曲率(半徑RA),而r方向上,由于半徑變小,曲率變大。也就是說,A點(diǎn)上的曲率變化產(chǎn)生了兩個(gè)效果:


柱面的正弦波導(dǎo)致負(fù)曲率,使得A點(diǎn)的壓力下降;


截面的半徑變小,導(dǎo)致A點(diǎn)壓力上升。


同理,我們也可以看到,在B點(diǎn),兩個(gè)效應(yīng)是相反的:


柱面正弦波導(dǎo)致正曲率,使得B點(diǎn)壓力上升;


截面半徑增大,導(dǎo)致B點(diǎn)壓力下降。


也就是說,擾動(dòng)導(dǎo)致的z方向上的正弦波曲率將會(huì)升高B點(diǎn)壓力,降低A點(diǎn)壓力,導(dǎo)致負(fù)反饋,水柱穩(wěn)定;而擾動(dòng)導(dǎo)致水柱粗細(xì)的變化,將會(huì)升高A點(diǎn)壓力,降低B點(diǎn)壓力,導(dǎo)致正反饋,水柱崩解。


從直觀上我們立刻就知道,如果水柱很細(xì),那么截面上的曲率很大,它的影響會(huì)顯著大于正弦波的影響,那么就會(huì)是正反饋,水柱崩解;反之,如果水柱很粗,那么截面上曲率很小,起到關(guān)鍵作用的將會(huì)是正弦波造成的曲率,那么就會(huì)是負(fù)反饋,水柱穩(wěn)定。


這就是為何細(xì)水柱不穩(wěn)定的原因。


那么,水柱到底多細(xì),才會(huì)不穩(wěn)定呢?下面我們來簡(jiǎn)單計(jì)算一下:


假定擾動(dòng)所導(dǎo)致正弦波的形式如下:

這里,是未受到擾動(dòng)的水柱半徑,A表征擾動(dòng)的大小,而k是波數(shù),表示擾動(dòng)范圍的大小。很容易,我們可以計(jì)算出兩個(gè)方向的曲率半徑,進(jìn)而根據(jù)Young-Laplace方程計(jì)算出流體內(nèi)部各處的壓力(我們假定外壓為零):

在A點(diǎn),,在B點(diǎn),,那么,我們可以得到:

這就是擾動(dòng)導(dǎo)致AB兩點(diǎn)的壓力差。根據(jù)上面的討論,當(dāng)它小于0的時(shí)候,水柱就是穩(wěn)定的,也就是說:

請(qǐng)注意,理論上,當(dāng)水柱穩(wěn)定的時(shí)候,它是可以抗拒任意小的擾動(dòng)的,也就是說,在我們?nèi)〉臉O限時(shí),水柱仍然穩(wěn)定。所以說,我們就得到了水柱穩(wěn)定的條件如下:

從這個(gè)條件看,水柱的半徑越細(xì),就越難滿足穩(wěn)定條件,進(jìn)而它就更容易崩解。


而在水向下自由流動(dòng)的過程中,由于重力作用,它是在加速的,也就是說,越往下它流動(dòng)速度越快,自然就會(huì)導(dǎo)致其越往下水柱越細(xì):

所以,這就回答了題主的問題:


從高處往下倒水,為什么剛開始水是連成一條線,往下就成了散開的水珠?